Quando si divide per una variabile si sta supponendo che sia diversa da zero; e se non lo è?

Nei passaggi delle equazioni spesso si divide da entrambi le parti per un numero; talvolta questo numero è una variabile (incognita)*.

Però sai benissimo che la regola della divisione permette di dividere da entrambe le parti per un numero che non sia zero. Come fai a dividere per una variabile, se può assumere qualsiasi valore, compreso lo zero?** O, in generale, come fai a dividere per un numero che contiene una variabile (tipo x+3)?

Devi discutere il divisore. Questo significa che l'esercizio si divide in due: da una parte supponi che il dividendo sia diverso da zero, e continui l'equazione come al solito. Dall'altra parte supponi che il dividendo sia uguale a zero, e se ottieni una proposizione vera, vuol dire che anche quella è una soluzione.

Ma perché devo discutere il divisore?
Perché se dividi per un divisore variabile senza discutere a parte il caso in cui è uguale a zero, stai implicitamente supponendo che sia diverso da zero! E se lo zero era un risultato legittimo, rischi di escluderlo.
Vedi l'esempio 1 qui sotto: come vedi se x=0 l'equazione viene giusta (prova a sostituire 0 a x). Però, se dividi per x senza fare la discussione, non te ne accorgi.



Esempio 1

x(x+1)=3x

Voglio dividere per x allora discuto:

Caso 1: x diverso da 0.
Allora posso dividere per x:
(x+1)=3
x=2
(Nota: se invece fosse venuto x=0, questa non sarebbe stata una soluzione valida, perché abbiamo proprio supposto che x sia diverso da 0!)

Caso 2: x = 0.
Allora l'equazione diventa:
(0)(0+1)=0
0=0
Che è una proposizione vera. Quindi anche x=0 è una soluzione.
(Nota: se invece fosse venuta una proposizione falsa, come 3=0, sarebbe voluto dire che x=0 non era una soluzione).

Risposta: (x)(x+1)=3x se e solo se x=3 o x=0



Esempio 2

(x)(x+1)=x+1

Voglio dividere per (x+1) allora discuto.

Caso 1: (x+1) diverso da 0, se e solo se x diverso da –1.
Allora posso dividere per (x+1):
x=1

Caso 2: (x+1)=0 se e solo se x=–1
Allora l'equazione diventa:
(–1)(–1+1)=–1+1
(–1)0=0
0=0
Vera

Risposta: (x)(x+1)=x+1 se e solo se x=1 o x=–1



Altro

La discussione delle variabili va fatta anche con le disequazioni: quando si divide con una variabile, non si sa se è maggiore o minore di zero, e se è minore si dovrebbe invertire il senso della disequazione, quindi vanno studiati i due casi.

Un metodo più generale per "discutere" è farlo con i sistemi e in futuro potrei scrivere una guida completa in proposito. Con i sistemi non si sbaglia mai.

Tra l'altro la discussione delle variabili, specie nelle divisioni, è anche fra i tre errori comuni in trigonometria che discuterò in un prossimo post.

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Note

* Un giorno scriverò su variabili e costanti, per adesso non è il caso.
** Non sempre, magari l'esercizio ti dice che la variabile è maggiore di zero, allora il problema non si pone.