Scopri cosa sono le equazioni in modo rigoroso

In questi articoli sto percorrendo alcuni concetti matematici dati per scontati, cercando di definirli in modo rigoroso. Lo scopo è quello di facilitare una comprensione profonda. Quindi questi articoli sono mirati a chi ha già imparato queste cose, a scuola o dai libri, e offrono un punto di vista più completo.

Uguaglianze

Nelle puntate precedenti ho detto molte cose sull'uguale. Un'uguaglianza è una proposizione che afferma che due espressioni sono sinonime, per esempio

2 + 2 = 4

è una proposizione che afferma che "2+2" è sinonimo di "4", quindi è un'uguaglianza. Anche la seguente è un'uguaglianza:

2 + 2 = 5

ma a differenza della prima è un'uguaglianza falsa.

In queste proposizioni l'uguale si comporta come verbo; si sta affermando che ciò che sta a sinistra dell'uguale è sinonimo di ciò che sta a destra dell'uguale.

Equazioni

Se nell'uguaglianza compare almeno una variabile, quell'uguaglianza è un'equazione. Ad esempio

5 x + 4 = 14

è un'equazione. Ovviamente tutte le equazioni sono uguaglianze e sono proposizioni.

La proposizione «5 x + 4 = 14» è vera o è falsa? Non si può rispondere a priori perché dipende dal valore che diamo a x. Ad esempio, se x vale 1, l'equazione si trasforma in

5 × 1 + 4 = 14

che è un'affermazione falsa. Invece, se x vale 2, l'equazione si trasforma in

5 × 2 + 4 = 14

che è un'affermazione vera.

La proposizione 5x+4=14» è vera se e solo se è vero che x=2; se x è diverso da 2, è falsa.

“Risolvere” le equazioni significa trovare il/i valore/i di x per cui la proposizione originale è vera.

Nei prossimi articoli vedremo cosa significa esattamente spostare i termini delle equazioni; descriverò qual è la relazione fra i passaggi successivi di un'equazione; e infine da questo capirai che “risolvere” le equazioni significa scrivere la stessa equazione iniziale ma in modo più semplice.

In sintesi:

• Le uguaglianze sono proposizioni e possono essere vere o false
• Se nell'uguaglianza compare almeno una variabile, quell'uguaglianza è anche un'equazione
• Le equazioni possono essere proposizioni vere o false a seconda dei valori delle variabili
• Ad esempio 5x+4=14 è vera se e solo se x=2; se x è diverso da 2, è falsa.